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Y, [xl f-+ f(x) zusatzlich surjektiv, so ist f bijektiv. 6 Es sei (X, S;) eine geordnete Menge. Ferner seien A und B nach oben beschrankte und C und D nach unten beschrankte Teilmengen von X. 4 Relationen und Verkniipfungen (a) sup (A U B) = sup{ sup(A), sup(B)}, inf(C U D) = inf{inf(C), inf(D)}. (b) Aus A c B und C CD folgen sup (A) ::; sup(B) inf(C);:: inf(D) . und (c) Sind An B und C n D nicht leer, so gelten sup(A n B) ::; min{ sup(A), sup(B)}, inf(C n D) ;:: max{inf(C), inf(D)} .

Die Peano-Axiome Die natUrlichen Zahlen werden durch die folgenden, auf G. Peano zuruckgehenden Axiome eingefUhrt, welche den Vorgang des (Immer-Weiter- )Ziihlens formalisieren. Die natiirlichen Zahlen bilden eine Menge N, in der ein Element 0 ausgezeichnet ist und fUr die es eine Abbildung v: N ----+ N X := N\ {O} gibt mit folgenden Eigenschaften: (No) v ist injektiv. (N 1 ) Enthiilt eine Teilmenge N von N das Element 0 und mit n auch v(n), so gilt N = N. 1 Bemerkungen (a) Fur n E N heiBt v(n) Nachfolger von n, und v ist die Nachfolgerfunktion.

Dies ist der Induktionsanfang. Unsere Induktionsvoraussetzung heiBt: Es gilt Kk = (... (al ® a2) ® a3) ® ... ) ® ak-l) ® ak fUr jeden Klammerausdruck der Lange kEN mit 3 :::; k :::; n. Es sei nun Kn+l ein Klammerausdruck der Lange n + 1. Dann gibt es P, m E N X mit P+ m = n + 1 und Kn+1 = Kt ® Km. 5 Die natiirlichen Zahlen 1. Fall: m = 1. Dann gilt Km = an+l. ) ® an . Somit folgt in diesem Fall 2. Fall: Km m> 1. Dann ist Km-l erklart, und nach Induktionsvoraussetzung gilt = K m- 1 ® an+l. • Rekursive Definitionen Wir kommen zu einer weiteren wichtigen Anwendung der vollstiindigen Induktion, dem Prinzip der rekursiven Definition.

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Analysis I by Herbert Amann, Joachim Escher, Gary Brookfield


by Anthony
4.1

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